Fiche livre

Présentation Trier, comparer, ordonner sont des activités courantes depuis la nuit des temps qui se sont formalisées et perfectionnées en intégrant le domaine des mathématiques sous forme d’inéquations ou de relations d’ordre. C’est en géométrie que sont apparues, de manière explicite, les premières inégalités dans divers problèmes traités par les Grecs de l’Antiquité. On y découvre la plus célèbre d’entre elles : l’inégalité triangulaire. Un tournant dans l’utilisation des inégalités a sans doute été leur introduction en analyse. Ainsi, les notions de limite ou de continuité font appel à des inégalités. On les croise en calcul différentiel et intégral. En particulier, certaines d’entre elles, dont les plus connues sont celles de Cauchy-Schwarz ou de Minkowski, ont facilité la création de nouveaux espaces, permettant de donner un cadre théorique à la physique. On les retrouve en probabilités, en chimie, en mécanique quantique ou...en sciences sociales pour décrire et analyser un monde d’inégalités. Les inégalités Le sommaire Dossier 1 : Pour mettre un peu d’ordre Pour pouvoir parler d’inégalités, il faut tout d’abord être capable de comparer : pour cela, il est nécessaire de définir ce que l’on entend par ordre. Sujets traités De l’ordre dans le désordre Résoudre des inéquations Une histoire de moyennes bien rangées Les différentes moyennes Moyennes sans mots La puissance des ensembles Et l’ordre fut établi Dossier 2 : Une origine géométrique Comparer des quantités est une activité des plus naturelles. Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. Sujets traités Les richesses du triangle Le problème de Didon Une inégalité méconnue, celle de Ptolémée À peu près π Les domaines du plan La généralisation d’Hornich-Hlawka Dossier 3 : L’analyse pour démontrer Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations, de majorer ou de minorer. Sujets traités Un petit florilège Les inégalités de convexité L’inégalité de Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz et ses variantes Jusque dans les graphes ! Tchebychev et les suites monotones La symétrie, un outil efficace Dossier 4 : Un outil polyvalent Dans nombre de domaines scientifiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas, par exemple, en probabilités ou pour les processus relevant de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités. Sujets traités En probabilité, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Des résultats pour les nombres premiers La naissance de la thermodynamique Trier un tableau L’indétermination d’Heisenberg Les surprises de la mécanique quantique Dossier 5 : Un monde d’inégalités En sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’